Global existence and blow-up of solutions to a nonlocal Kirchhoff diffusion problem*
Hang Ding, Jun Zhou
Abstract
Abstract In this paper, we revisit the following nonlocal Kirchhoff diffusion problem: <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <mml:mfenced close="" open="{"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases" columnspacing="1"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> <jats:graphic xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" orientation="portrait" position="float" xlin