Global existence and convergence of a flow to Kazdan–Warner equation with non-negative prescribed function

Abstract

Abstract We consider an evolution problem associated to the Kazdan–Warner equation on a closed Riemann surface $$(\Sigma ,g)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> $$\begin{aligned} -\Delta _{g}u=8\pi \left( \dfrac{he^{u}}{\int _{\Sigma }he^{u}\mathop {}\mathrm {d}\mu _{g}}-\dfrac{1}{\int _{\Sigma }\mathop {}\mathrm {d}\mu _{g}}\right) \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:mstyle> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>Σ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow/> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mstyle> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mstyle> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>Σ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow/> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mstyle> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where the prescribed function $$h\ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and $$\max _{\Sigma }h&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>max</mml:mo> <mml:mi>Σ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . We prove the global existence and convergence under additional assumptions such as $$\begin{aligned} \Delta _{g}\ln h(p_0)+8\pi -2K(p_0)&gt;0 \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>ln</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> for any maximum point $$p_0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> of the sum of $$2\ln h$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>ln</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and the regular part of the Green function, where K is the Gaussian curvature of $$\Sigma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Σ</mml:mi> </mml:math> . In particular, this gives a new proof of the existence result by Yang and Zhu (Pro Am Math Soc 145:3953–3959, 2017) which generalizes existence result of Ding et al. (Asian J Math 1:230–248, 1997) to the non-negative prescribed function case.

Topics & Concepts