A topological approach to a class of one-dimensional Kirchhoff equations
Christopher S. Goodrich
Abstract
We consider, for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q greater-than 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q>1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , the one-dimensional Kirchhoff-type problem <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row 1st Column minus upper A left-parenthesis integral Subscript 0 Superscript 1 Baseline left-parenthesis u prime left-parenthesis s right-parenthesis right-parenthesis Superscript q Baseline d s right-parenthesis u left-parenthesis t right-parenthesis 2nd Column a m p semicolon equals lamda f left-parenthesis u left-parenthesis t right-parenthesis right-parenthesis comma t element-of left-parenthesis 0 comma 1 right-parenthesis 2nd Row 1st Column u left-parenthesis 0 right-parenthesis 2nd Column a m p semicolon equals 0 3rd Row 1st Column u prime left-parenthesis 1 right-parenthesis 2nd Column a m p semicolon equals 0 EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mtable columnalign="right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em" side="left" displaystyle="true"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo> ∫ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msup> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msup> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mtext>, </mml:mtext> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation} \begin {split} -A\left (\int _0^1\big (u’(s)\big )^q\ ds\right )u(t)&=\lambda f\big (u(t)\big )\text {, }t\in (0,1)\\ u(0)&=0\\ u’(1)&=0\notag \end{split} \end{equation}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> and demonstrate the existence of at least one positive solution to this problem. The main contribution is to show that by using a nonstandard order cone together with topological fixed point theory much weaker conditions than usual can be imposed on the coefficient function <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .