Maximally nonassociative quasigroups via quadratic orthomorphisms
Aleš Drápal, Ian M. Wanless
Abstract
A quasigroup <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:math> is called maximally nonassociative if for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> we have that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> only if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . We show that, with finitely many exceptions, there exists a maximally nonassociative quasigroup of order <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:math> whenever <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:math> is not of the form <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> or <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> for primes <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> .