A new asymptotic expansion of a ratio of two gamma functions and complete monotonicity for its remainder

Abstract

In this paper, we establish a new asymptotic expansion of a ratio of two gamma functions, that is, as <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x right-arrow normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x\rightarrow \infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket StartFraction normal upper Gamma left-parenthesis x plus u right-parenthesis Over normal upper Gamma left-parenthesis x plus v right-parenthesis EndFraction right-bracket Superscript 1 slash left-parenthesis u minus v right-parenthesis Baseline tilde left-parenthesis x plus sigma right-parenthesis exp left-bracket sigma-summation Underscript k equals 1 Overscript m Endscripts StartFraction upper B Subscript 2 n plus 1 Baseline left-parenthesis rho right-parenthesis Over w n left-parenthesis 2 n plus 1 right-parenthesis EndFraction left-parenthesis x plus sigma right-parenthesis Superscript minus 2 k Baseline plus upper R Subscript m Baseline left-parenthesis x semicolon u comma v right-parenthesis right-bracket comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ </mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ </mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo class="MJX-variant"> ∼ </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi> σ </mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>exp</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi> ρ </mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:mi> σ </mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:msub> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} \left [ \frac {\Gamma \left ( x+u\right ) }{\Gamma \left ( x+v\right ) }\right

Topics & Concepts