Lower Bounds on the Entire Zagreb Indices of Trees

Abstract

For a (molecular) graph <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math>, the first and the second entire Zagreb indices are defined by the formulas <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>ε</mml:mi></mml:msubsup><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>G</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>V</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>G</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>G</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mstyle></mml:mrow></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>M</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>ε</mml:mi></mml:msubsup><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>G</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mi>is</mml:mi><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mi>either</mml:mi><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mi>adjacent</mml:mi><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mi>or</mml:mi><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mi>incident</mml:mi><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mi>to</mml:mi><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mstyle></mml:mrow></mml:math> in which <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math> represents the degree of a vertex or an edge <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>. In the current manuscript, we establish some lower bounds on the first and the second entire Zagreb indices and determine the extremal trees which achieve these bounds.

Topics & Concepts