Szegő Type Asymptotics for the Reproducing Kernel in Spaces of Full-Plane Weighted Polynomials

Abstract

Abstract Consider the subspace $${{{\mathscr {W}}}_{n}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> of $$L^2({{\mathbb {C}}},dA)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> consisting of all weighted polynomials $$W(z)=P(z)\cdot e^{-\frac{1}{2}nQ(z)},$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where P ( z ) is a holomorphic polynomial of degree at most $$n-1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , $$Q(z)=Q(z,{\bar{z}})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is a fixed, real-valued function called the “external potential”, and $$dA=\tfrac{1}{2\pi i}\, d{\bar{z}}\wedge dz$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mstyle> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mstyle> <mml:mspace/> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> <mml:mo>∧</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is normalized Lebesgue measure in the complex plane $${{\mathbb {C}}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:math> . We study large n asymptotics for the reproducing kernel $$K_n(z,w)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> of $${{\mathscr {W}}}_n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> ; this depends crucially on the position of the points z and w relative to the droplet S , i.e., the support of Frostman’s equilibrium measure in external potential Q . We mainly focus on the case when both z and w are in or near the component U of $$\hat{{{\mathbb {C}}}}\setminus S$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> containing $$\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:math> , leaving aside such cases which are at this point well-understood. For the Ginibre kernel, corresponding to $$Q=|z|^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , we find an asymptotic formula after examination of classical work due to G. Szegő. Properly interpreted, the formula turns out to generalize to a large class of potentials Q ( z ); this is what we call “Szegő type asymptotics”. Our derivation in the general case uses the theory of approximate full-plane orthogonal polynomials instigated by Hedenmalm and Wennman, but with nontrivial additions, notably a technique involving “tail-kernel approximation” and summing by parts. In the off-diagonal case $$z\ne w$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> when both z and w are on the boundary <jat

Topics & Concepts