Local Boundedness, Maximum Principles, and Continuity of Solutions to Infinitely Degenerate Elliptic Equations with Rough Coefficients
Lyudmila Korobenko, Cristian Rios, Eric T. Sawyer, Ruipeng Shen
Abstract
We obtain local boundedness and maximum principles for weak subsolutions to certain infinitely degenerate elliptic divergence form inhomogeneous equations, and also continuity of weak solutions to homogeneous equations. For example, we consider the family <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-brace f Subscript sigma Baseline right-brace Subscript sigma greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> σ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> σ </mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left \{ f_{\sigma }\right \} _{\sigma >0}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f Subscript sigma Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals e Superscript minus left-parenthesis StartFraction 1 Over StartAbsoluteValue x EndAbsoluteValue EndFraction right-parenthesis Super Superscript sigma Superscript Baseline comma negative normal infinity greater-than x greater-than normal infinity comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> σ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> σ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} f_{\sigma }\left ( x\right ) =e^{-\left ( \frac {1}{\left \vert x\right \vert }\right ) ^{\sigma }},\ \ \ \ \ -\infty >x>\infty , \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> of infinitely degenerate functions at the origin, and show that all weak solutions to the associated infinitely degenerate quasilinear equations of the form <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal d normal i normal v upper A left-parenthesis x comma u right-parenthesis normal g normal r normal a normal d u equals phi left-parenthesis x right-parenthesis comma upper A left-parenthesis x comma z right-parenthesis tilde Start 2 By 2 Matrix 1st Row 1st Column upper I Subscript n minus 1 Baseline 2nd Column a m p semicolon 0 2nd Row 1st Column 0 2nd Column a m p semicolon f left-parenthesis x 1 right-parenthesis squared EndMatrix comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">g</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">a</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi> ϕ </mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∼ </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mtable columnalign="center center" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi>