Construction of q-Baskakov Operators by Wavelets and Approximation Properties
Md. Nasiruzzaman, Adem Kılıçman, M. Mursaleen
Abstract
Abstract We use wavelets to define the Kantorovich variant of q -Baskakov type operators, and for $$1\le p< \infty$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , we study the $$L_{p}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> -approximation. Let $$\xi$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ξ</mml:mi> </mml:math> be any positive constant and $$\Psi _{k}(x)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> be any continuous derivative function such that $$\int _{\mathbb {R}}x^{s}\Psi _{k}(x)\mathrm {d}_{q}x=0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> where $$0\le s \le k,\;k\in \mathbb {N}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , $$0<q<1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> $$.$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:math> For all $$\Psi \in L_{\infty }(\mathbb {R})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> suppose the following conditions hold: (i) a finite positive $$\xi$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ξ</mml:mi> </mml:math> exits with the property $$\sup \Psi \subset [0,\xi ],$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>sup</mml:mo> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> (ii) its first k moments vanish: For $$1\le s \le k,\;k\in \mathbb {N}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , we have $$\int _{\mathbb {R}}t^{s}\Psi (t)\mathrm {d}_{q}t=0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and $$\int _{\mathbb {R} }\Psi (t)\mathrm {d}_{q}t=1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . Then in the sense of Haar basis for $$0<q<1,$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> the $$q-$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> analogue of Baskakov–Kantorovich type wavelets operators are defined by <jats:alter