Fractional (p, q)-Schrödinger Equations with Critical and Supercritical Growth

Abstract

Abstract In this paper, we complete the study started in Ambrosio and Rădulescu (J Math Pures Appl (9) 142:101–145, 2020) on the concentration phenomena for a class of fractional ( p , q )-Schrödinger equations involving the fractional critical Sobolev exponent. More precisely, we focus our attention on the following class of fractional ( p , q )-Laplacian problems: $$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} (-\Delta )^{s}_{p}u+(-\Delta )^{s}_{q}u + V(\varepsilon x) (u^{p-1} + u^{q-1})= f(u)+u^{q^{*}_{s}-1} \, \text{ in } \mathbb {R}^{N}, \\ u\in W^{s, p}(\mathbb {R}^{N})\cap W^{s,q}(\mathbb {R}^{N}), \, u&gt;0 \text{ in } \mathbb {R}^{N}, \end{array} \right. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mfenced><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>V</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace/><mml:mspace/><mml:mtext>in</mml:mtext><mml:mspace/><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>W</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∩</mml:mo><mml:msup><mml:mi>W</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace/><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace/><mml:mtext>in</mml:mtext><mml:mspace/><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> where $$\varepsilon &gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> is a small parameter, $$s\in (0, 1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> , $$1&lt;p&lt;q&lt;\frac{N}{s}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math> , $$q^{*}_{s}=\frac{Nq}{N-sq}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Nq</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math> is the fractional critical Sobolev exponent, $$(-\Delta )^{s}_{r}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msubsup></mml:math> , with $$r\in \{p, q\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>{</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:math> , is the fractional r -Laplacian operator, $$V:\mathbb {R}^{N}\rightarrow \mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:math> is a positive continuous potential such that $$\inf _{\partial \Lambda }V&gt;\inf _{\Lambda } V$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>inf</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:msub><mml:mo>inf</mml:mo><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:msub><mml:mi>V</mml:mi></mml:mrow></mml:math> for some bounded open set $$\Lambda \subset \mathbb {R}^{N}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math> , and $$f:\mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:math> is a continuous nonlinearity with subcritical growth. With the aid of minimax theorems and the Ljusternik–Schnirelmann category theory, we obtain multiple solutions by employing the topological construction of the set where the potential V attains its minimum. We also establish a multiplicity result when $$f(t)=t^{\gamma -1}+\mu t^{\tau -1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math> , with $$1&lt; p&lt;q&lt;\gamma&lt;q^{*}_{s}&lt;\tau $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow></mml:math> and $$\mu &gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> sufficiently small, by combining a truncation argument with a Moser-type iteration.

Topics & Concepts