New alternatives to the Lennard-Jones potential

Abstract

Abstract We present a new method for approximating two-body interatomic potentials from existing ab initio data based on representing the unknown function as an analytic continued fraction. In this study, our method was first inspired by a representation of the unknown potential as a Dirichlet polynomial, i.e., the partial sum of some terms of a Dirichlet series. Our method allows for a close and computationally efficient approximation of the ab initio data for the noble gases Xenon (Xe), Krypton (Kr), Argon (Ar), and Neon (Ne), which are proportional to $$r^{-6}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> and to a very simple $$depth=1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> truncated continued fraction with integer coefficients and depending on $$n^{-r}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> only, where n is a natural number (with $$n=13$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>13</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> for Xe, $$n=16$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>16</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> for Kr, $$n=17$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>17</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> for Ar, and $$n=27$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>27</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> for Neon). For Helium (He), the data is well approximated with a function having only one variable $$n^{-r}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> with $$n=31$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>31</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and a truncated continued fraction with $$depth=2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> (i.e., the third convergent of the expansion). Also, for He, we have found an interesting $$depth=0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> result, a Dirichlet polynomial of the form $$k_1 \, 6^{-r} + k_2 \, 48^{-r} + k_3 \, 72^{-r}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mspace/> <mml:msup> <mml:mn>6</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mspace/> <mml:msup> <mml:mn>48</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup>

Topics & Concepts