Hausdorff dimension of an exceptional set in the theory of continued fractions ^*

Abstract

Abstract In this article we calculate the Hausdorff dimension of the set <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfenced close="}" open="{"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⩾</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi mathvariant="normal">f</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">f</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">l</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi mathvariant="normal">m</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">a</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi mathvariant="normal">a</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi mathvariant="normal">f</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi mathvariant="normal">a</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">l</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">l</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi mathvariant="normal">s</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">u</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">f</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">f</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">c</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">l</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi mathvariant="normal">l</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">a</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">g</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> where

Topics & Concepts