Traveling waves and spreading properties for a reaction-diffusion competition model with seasonal succession*
Mingxin Wang, Qianying Zhang, Xiao‐Qiang Zhao
Abstract
Abstract In this paper, we investigate the propagation dynamics of a reaction–diffusion competition model with seasonal succession in the whole space. Under the weak competition condition, the corresponding kinetic system admits a globally stable positive periodic solution <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">^</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">^</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . By the method of upper and lower solutions and the Schauder fixed point theorem, we first obtain the existence and nonexistence of traveling wave solutions connecting (0, 0) to <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">^</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">^</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . Then we use the comparison arguments to establish the spreading properties for a large class of solutions.