The planar Schrödinger–Poisson system with a positive potential ^*

Abstract

Abstract In this paper we consider the problem <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <mml:mfenced close="" open="{"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> where W is assumed nonnegative. In dimension three, the problem with the sign + (we call it <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> ) was considered and solved in [22], whereas in the same paper it was showed that no nontrivial solution exists if we consider the sign − (say it <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> ). We provide a general existence result for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and two examples falling in the case <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> for which there exists at least a nontrivial solution.

Topics & Concepts