Hadronic vacuum polarization and vector-meson resonance parameters from $$\varvec{e^+e^-\rightarrow \pi ^0\gamma }$$
Bai-Long Hoid, Martin Hoferichter, Bastian Kubis
Abstract
Abstract We study the reaction $$e^+e^-\rightarrow \pi ^0\gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup><mml:msup><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo></mml:msup><mml:mo>→</mml:mo><mml:msup><mml:mi>π</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math> based on a dispersive representation of the underlying $$\pi ^0\rightarrow \gamma \gamma ^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>π</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msup><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:mrow></mml:math> transition form factor. As a first application, we evaluate the contribution of the $$\pi ^0\gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>π</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math> channel to the hadronic-vacuum-polarization correction to the anomalous magnetic moment of the muon. We find $$a_\mu ^{\pi ^0\gamma }\big |_{\le 1.35\,\text {GeV}}=43.8(6)\times 10^{-11}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>π</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1.35</mml:mn><mml:mspace/><mml:mtext>GeV</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>43.8</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>6</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math> , in line with evaluations from the direct integration of the data. Second, our fit determines the resonance parameters of $$\omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>ω</mml:mi></mml:math> and $$\phi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:math> . We observe good agreement with the $$e^+e^-\rightarrow 3\pi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup><mml:msup><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo></mml:msup><mml:mo>→</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>π</mml:mi></mml:mrow></mml:math> channel, explaining a previous tension in the $$\omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>ω</mml:mi></mml:math> mass between $$\pi ^0\gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>π</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math> and $$3\pi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>π</mml:mi></mml:mrow></mml:math> by an unphysical phase in the fit function. Combining both channels we find $${\bar{M}}_\omega =782.736(24)\,\text {MeV}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>ω</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>782.736</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>24</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace/><mml:mtext>MeV</mml:mtext></mml:mrow></mml:math> and $${\bar{M}}_\phi =1019.457(20)\,\text {MeV}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1019.457</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>20</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace/><mml:mtext>MeV</mml:mtext></mml:mrow></mml:math> for the masses including vacuum-polarization corrections. The $$\phi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:math> mass agrees perfectly with the PDG average, which is dominated by determinations from the $${\bar{K}} K$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:math> channel, demonstrating consistency with $$3\pi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>π</mml:mi></mml:mrow></mml:math> and $$\pi ^0\gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>π</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math> . For the $$\omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>ω</mml:mi></mml:math> mass, our result is consistent but more precise, exacerbating tensions with the $$\omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>ω</mml:mi></mml:math> mass extracted via isospin-breaking effects from the $$2\pi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>π</mml:mi></mml:mrow></mml:math> channel.