Approaching optimality in blow-up results for Keller–Segel systems with logistic-type dampening
Mario Fuest
Abstract
Abstract Nonnegative solutions of the Neumann initial-boundary value problem for the chemotaxis system in smooth bounded domains $$\Omega \subset {\mathbb {R}}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math> , $$n \ge 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math> , are known to be global in time if $$\lambda \ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> , $$\mu > 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> and $$\kappa > 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math> . In the present work, we show that the exponent $$\kappa = 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math> is actually critical in the four- and higher dimensional setting. More precisely, if $$\begin{aligned} \qquad n&\ge 4,&\quad \kappa \in (1, 2) \quad&\text {and} \quad \mu > 0 \\ \text {or}\qquad n&\ge 5,&\quad \kappa = 2 \quad&\text {and} \quad \mu \in \left( 0, \frac{n-4}{n}\right) , \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo><mml:mspace/></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mtext>and</mml:mtext><mml:mspace/><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mtext>or</mml:mtext><mml:mspace/><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mspace/></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mtext>and</mml:mtext><mml:mspace/><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> for balls $$\Omega \subset {\mathbb {R}}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math> and parameters $$\lambda \ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> , $$m_0 > 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> , we construct a nonnegative initial datum $$u_0 \in C^0({{\overline{\Omega }}})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mover><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> with $$\int \nolimits _\Omega u_0 = m_0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math> for which the corresponding solution ( u , v ) of ( $$\star $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mo>⋆</mml:mo></mml:math> ) blows up in finite time. Moreover, in 3D, we obtain finite-time blow-up for $$\kappa \in (1, \frac{3}{2})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>3</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> (and $$\lambda \ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> , $$\mu > 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> ). As the corner stone of our analysis, for certain initial data, we prove that the mass accumulation function $$w(s, t) = \int \nolimits _0^{\root n \of {s}} \rho ^{n-1} u(\rho , t) \,\mathrm {d}\rho $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mroot><mml:mi>s</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:mroot></mml:msubsup><mml:msup><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:mrow></mml:math> fulfills the estimate $$w_s \le \frac{w}{s}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>w</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>w</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math> . Using this information, we then obtain finite-time blow-up of u by showing that for suitably chosen initial data, $$s_0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>s</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:math> and $$\gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>γ</mml:mi></mml:math> , the function $$\phi (t) = \int \nolimits _0^{s_0} s^{-\gamma } (s_0 - s) w(s, t)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:msub><mml:mi>s</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:msubsup><mml:msup><mml:mi>s</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>s</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> cannot exist globally.