Reaction-Driven Relaxation in Three-Dimensional Keller–Segel–Navier–Stokes Interaction
Michael Winkler
Abstract
Abstract The Keller–Segel–Navier–Stokes system $$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{rcll} n_t + u\cdot \nabla n &{}=&{} \Delta n - \chi \nabla \cdot (n\nabla c) + \rho n-\mu n^2,\\ c_t + u\cdot \nabla c &{}=&{} \Delta c-c+n, \\ u_t + (u\cdot \nabla )u &{}=&{} \Delta u + \nabla P + n \nabla \phi + f(x,t), \qquad \nabla \cdot u=0, \end{array} \right. \qquad \qquad (\star ) \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>=</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>=</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>=</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>⋆</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> is considered in a smoothly bounded convex domain $$\Omega \subset \mathbb {R}^3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , with $$\phi \in W^{2,\infty }(\Omega )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo>