The sub-supersolution method for a nonhomogeneous elliptic equation involving Lebesgue generalized spaces
Giovany M. Figueiredo, A. Razani
Abstract
Abstract In this paper, a nonhomogeneous elliptic equation of the form $$\begin{aligned}& - \mathcal{A}\bigl(x, \vert u \vert _{L^{r(x)}}\bigr) \operatorname{div}\bigl(a\bigl( \vert \nabla u \vert ^{p(x)}\bigr) \vert \nabla u \vert ^{p(x)-2} \nabla u\bigr) \\& \quad =f(x, u) \vert \nabla u \vert ^{\alpha (x)}_{L^{q(x)}}+g(x, u) \vert \nabla u \vert ^{ \gamma (x)}_{L^{s(x)}} \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:msub><mml:mo>|</mml:mo><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>div</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>∇</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:msup><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>∇</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:msup><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>∇</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mspace/><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>∇</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:msubsup><mml:mo>|</mml:mo><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>∇</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:msubsup><mml:mo>|</mml:mo><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math> on a bounded domain Ω in ${\mathbb{R}}^{N}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>R</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup></mml:math> ( $N >1$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math> ) with $C^{2}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:math> boundary, with a Dirichlet boundary condition is considered. Using the sub-supersolution method, the existence of at least one positive weak solution is proved. As an application, the existence of at least one solution of a generalized version of the logistic equation and a sublinear equation are shown.