The soliton resolution conjecture for the Boussinesq equation
Christophe Charlier, Jonatan Lenells
Abstract
We analyze the Boussinesq equation on the line with Schwartz initial data belonging to the physically relevant class of global solutions. In a recent paper, we determined ten main asymptotic sectors describing the large ( x , t ) -behavior of the solution, and for each of these sectors we provided the leading order asymptotics in the case when no solitons are present. In this paper, we give a formula valid in the asymptotic sector x / t ∈ ( 1 , M ] , where M is a large positive constant, in the case when solitons are present. Combined with earlier results, this validates the soliton resolution conjecture for the Boussinesq equation everywhere in the ( x , t ) -plane except in a number of small transition zones. Nous analysons l'équation de Boussinesq sur la ligne avec des données initiales de Schwartz appartenant à la classe physiquement pertinente de solutions globales. Dans un article récent, nous avons déterminé dix principaux secteurs asymptotiques décrivant le comportement de la solution pour ( x , t ) grand, et pour chacun de ces secteurs, nous avons fourni les termes asymptotiques dominants dans le cas où aucun soliton n'est présent. Dans cet article, nous donnons une formule valable dans le secteur asymptotique x / t ∈ ( 1 , M ] , où M est une grande constante positive, dans le cas où des solitons sont présents. Combiné avec des résultats antérieurs, cela valide la conjecture de résolution des solitons pour l'équation de Boussinesq partout dans le plan ( x , t ) , à l'exception d'un certain nombre de petites zones de transition.