Symmetries and anomalies of Kitaev spin-S models: Identifying symmetry-enforced exotic quantum matter

Abstract

We analyze the internal symmetries and their anomalies in the Kitaev spin- S <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:math> models. Importantly, these models have a lattice version of a \mathbb{Z}_2 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:msub> <mml:mi>ℤ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> 1-form symmetry, denoted by \mathbb{Z}_2^{[1]} <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:msubsup> <mml:mi>ℤ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> . There is also an ordinary 0-form \mathbb{Z}_2^{(x)}×\mathbb{Z}_2^{(y)}×\mathbb{Z}_2^T <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>ℤ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>ℤ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>ℤ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> symmetry, where \mathbb{Z}_2^{(x)}×\mathbb{Z}_2^{(y)} <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>ℤ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>ℤ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> are \pi <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:math> spin rotations around two orthogonal axes, and \mathbb{Z}_2^T <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:msubsup> <mml:mi>ℤ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> is the time reversal symmetry. The anomalies associated with the full \mathbb{Z}_2^{(x)}×\mathbb{Z}_2^{(y)}×\mathbb{Z}_2^T×\mathbb{Z}_2^{[1]} <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>ℤ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>ℤ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>ℤ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>ℤ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> symmetry are classified by \mathbb{Z}_2^{17} <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:msubsup> <mml:mi>ℤ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mn>17</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:math> . We find that for S∈\mathbb{Z} <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>ℤ</mml:mi>

Topics & Concepts