Blow-up phenomena for a viscoelastic wave equation with strong damping and logarithmic nonlinearity

Abstract

Abstract In this paper we consider the initial boundary value problem for a viscoelastic wave equation with strong damping and logarithmic nonlinearity of the form $$ u_{tt}(x,t) - \Delta u (x,t) + \int ^{t}_{0} g(t-s) \Delta u(x,s)\,ds - \Delta u_{t} (x,t) = \bigl\vert u(x,t) \bigr\vert ^{p-2} u(x,t) \ln \bigl\vert u(x,t) \bigr\vert $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mspace/><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:msup><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>ln</mml:mo><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>|</mml:mo></mml:math> in a bounded domain $\varOmega \subset {\mathbb{R}}^{n} $ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msup><mml:mi>R</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:math> , where g is a nonincreasing positive function. Firstly, we prove the existence and uniqueness of local weak solutions by using Faedo–Galerkin’s method and contraction mapping principle. Then we establish a finite time blow-up result for the solution with positive initial energy as well as nonpositive initial energy.

Topics & Concepts