Existence of radial solutions for a $p(x)$-Laplacian Dirichlet problem

Abstract

Abstract In this paper, using variational methods, we prove the existence of at least one positive radial solution for the generalized $p(x)$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:math> -Laplacian problem $$ -\Delta _{p(x)} u + R(x) u^{p(x)-2}u=a (x) \vert u \vert ^{q(x)-2} u- b(x) \vert u \vert ^{r(x)-2} u $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:msup><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:msup><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> with Dirichlet boundary condition in the unit ball in $\mathbb{R}^{N}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>R</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup></mml:math> (for $N \geq 3$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:math> ), where a , b , R are radial functions.

Topics & Concepts