Statistique d'extrêmes des processus : du mouvement brownien aux particules actives
Francesco Mori
Abstract
Bien que rares, les événements extrêmes peuvent jouer un rôle majeur dans un large éventail de situations, de la finance au climat. Dans cette thèse, nous étudions les propriétés extrêmes de plusieurs processus stochastiques, dont le mouvement brownien (MB), les particules actives et le MB avec réinitialisation.Dans la première partie, nous étudions les instants auxquels les extrema des processus stochastiques unidimensionnels se produisent. En particulier, dans le cas d'un MB de durée fixée, nous calculons la distribution de probabilité du temps entre le maximum global et le minimum global. De plus, nous dérivons la distribution du temps du maximum pour une classe de processus stochastiques stationnaires, à la fois à l'équilibre et hors d'équilibre. Cette analyse conduit à la formulation d'un critère simple pour détecter des fluctuations hors d'équilibre dans les états stationnaires.Dans la deuxième partie, nous nous concentrons sur le modèle de particules dit " run-and-tumble particle " RTP). Nous calculons exactement la probabilité de survie pour une RTP dans un espace à d dimensions, montrant que cette quantité est complètement universelle, c'est-à-dire indépendante de d et des fluctuations de vitesse de la particule. Nous étendons cette universalité à d'autres observables et à certains modèles RTP généralisés. De plus, nous étudions également les grandes déviations de la position d'une RTP. Nous montrons que, sous certaines conditions, une transition de condensation est observée dans le régime de grandes déviations où la particule est éloignée de sa position de départ. Enfin, nous introduisons une nouvelle technique, analogue à l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman, pour contrôler de manière optimale un système dynamique à travers des redémarrages.