$$A_4$$ modular flavour model of quark mass hierarchies close to the fixed point $$\tau = \omega $$

Abstract

Abstract We investigate the possibility to describe the quark mass hierarchies as well as the CKM quark mixing matrix without fine-tuning in a quark flavour model with modular $$A_4$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> symmetry. The quark mass hierarchies are considered in the vicinity of the fixed point $$\tau = \omega \equiv \exp ({i\,2\pi /3})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mo>exp</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> (the left cusp of the fundamental domain of the modular group), $$\tau $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>τ</mml:mi> </mml:math> being the VEV of the modulus. The model involves modular forms of level 3 and weights 6, 4 and 2, and contains eight constants, only two of which, $$g_u$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> and $$g_d$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , can be a source of CP violation in addition to the VEV of the modulus, $$\tau = \omega + \epsilon $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ϵ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , $$(\epsilon )^* \ne \epsilon $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mi>ϵ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , $$|\epsilon |\ll 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>≪</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . We find that in the case of real (CP-conserving) $$g_u$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> and $$g_d$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> and common $$\tau $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>τ</mml:mi> </mml:math> ( $$\epsilon $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ϵ</mml:mi> </mml:math> ) in the down-type and up-type quark sectors, the down-type quark mass hierarchies can be reproduced without fine tuning with $$|\epsilon | \cong 0.03$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>≅</mml:mo> <mml:mn>0.03</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , all other constants being of the same order in magnitude, and correspond approximately to $$1: |\epsilon |: |\epsilon |^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> . The up-type quark mass hierarchies can be achieved with the same $$|\epsilon | \cong 0.03$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>≅</mml:mo> <mml:mn>0.03</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> but allowing $$g_u\sim \mathcal{O}(10)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∼</mml:mo> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and correspond to $$1: |\epsilon |/|g_u|: |\epsilon |^2/|g_u|^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . In this setting

Topics & Concepts