Can simultaneous density-determined enhancement of diffusion and cross-diffusion foster boundedness in Keller–Segel type systems involving signal-dependent motilities?
Michael Winkler
Abstract
Abstract The reaction-(cross-)diffusion system <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <mml:mfenced close="" open="{"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases" columnspacing="1"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="0.3333em"/> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="0.3333em"/> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> is considered under no-flux boundary conditions in smoothly bounded convex domains <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> , where m ⩾ 1 and n ⩾ 2, and where ϕ generalizes the prototype obtained on letting <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:math> with a ⩾ 0, b > 0, d ⩾ 0 and α ⩾ 0. In this framework, it is firstly seen that if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn>