Prescribed signal concentration on the boundary: eventual smoothness in a chemotaxis-Navier–Stokes system with logistic proliferation
T. Howard Black, Chunyan Wu
Abstract
Abstract We consider chemotaxis-Navier–Stokes systems with logistic proliferation and signal consumption of the form "Equation missing"for parameter choices $$\kappa \ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>κ</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and $$\mu >0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . Herein, we moreover impose a nonnegative and time-constant prescribed concentration $$c_\star \in C^2({\overline{\Omega }})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>⋆</mml:mo> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for the signal chemical on the boundary of the domain $$\Omega \subset {\mathbb {R}}^{\mathcal {N}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> with $${\mathcal {N}}\in \{2,3\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . After first extending the previously known result on time-global existence of weak solutions for the Stokes variant to the full Navier–Stokes setting, we proceed with an investigation of eventual regularity properties in the slightly more restrictive setting of $$c_\star $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>⋆</mml:mo> </mml:msub> </mml:math> being also constant in space. We show that sufficiently strong logistic influence, in the sense that for $$\omega >0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and $$\mu _0>0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> there is some $$\eta =\eta (\omega ,\mu _0,c_\star )>0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>⋆</mml:mo> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> with the property that whenever $$\begin{aligned} \mu _0\le \mu \quad \text {and}\quad \frac{\kappa }{\min \{\mu ,\mu ^{\frac{{\mathcal {N}}+6}{6}+\omega }\}}<\eta \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mtext>and</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mfrac> <mml:mi>κ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>min</mml:mo> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> are satisfied the global weak solution eventually becomes a smooth and classical solution with waiting time depending on $$\omega ,\mu _0,\eta ,c_\star $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>⋆</mml:mo> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> and the initial data.