von Neumann’s inequality for row contractive matrix tuples

Abstract

Abstract We prove that for all $$n\in {\mathbb {N}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , there exists a constant $$C_{n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> such that for all $$d \in {\mathbb {N}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , for every row contraction T consisting of d commuting $$n \times n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> matrices and every polynomial p , the following inequality holds: $$\begin{aligned} \Vert p(T)\Vert \le C_{n} \sup _{z \in {\mathbb {B}}_d} |p(z)| . \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:munder> <mml:mo>sup</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> We apply this result and the considerations involved in the proof to several open problems from the pertinent literature. First, we show that Gleason’s problem cannot be solved contractively in $$H^\infty ({\mathbb {B}}_d)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for $$d \ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . Second, we prove that the multiplier algebra $${{\,\mathrm{Mult}\,}}({\mathcal {D}}_a({\mathbb {B}}_d))$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mi>Mult</mml:mi> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> of the weighted Dirichlet space $${\mathcal {D}}_a({\mathbb {B}}_d)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> on the ball is not topologically subhomogeneous when $$d \ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and $$a \in (0,d)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . In fact, we determine all the bounded finite dimensional representations of the norm closed subalgebra $$A({\mathcal {D}}_a({\mathbb {B}}_d))$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> of $${{\,\mathrm{Mult}\,}}({\mathcal {D}}_a({\mathbb {B}}_d))$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mi>Mult</mml:mi> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi

Topics & Concepts