Least-energy nodal solutions of critical Kirchhoff problems with logarithmic nonlinearity

Abstract

Abstract In this paper, we are concerned with the existence of least energy sign-changing solutions for the following fractional Kirchhoff problem with logarithmic and critical nonlinearity: $$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} \left( a+b[u]_{s,p}^p\right) (-\Delta )^s_pu = \lambda |u|^{q-2}u\ln |u|^2 + |u|^{ p_s^{*}-2 }u &amp;{}\quad \text {in } \Omega , \\ u=0 &amp;{}\quad \text {in } {\mathbb {R}}^N{\setminus } \Omega , \end{array}\right. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mfenced><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfenced><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msubsup></mml:mfenced><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>ln</mml:mo><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace/><mml:mtext>in</mml:mtext><mml:mspace/><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace/><mml:mtext>in</mml:mtext><mml:mspace/><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mo>\</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> where $$N &gt;sp$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:math> with $$s \in (0, 1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> , $$p&gt;1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math> , and $$\begin{aligned}{}[u]_{s,p}^p =\iint _{{\mathbb {R}}^{2N}}\frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{N+ps}}dxdy, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mo>∬</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:msub><mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> $$p_s^*=Np/(N-ps)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> is the fractional critical Sobolev exponent, $$\Omega \subset {\mathbb {R}}^N$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math> $$(N\ge 3)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> is a bounded domain with Lipschitz boundary and $$\lambda $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>λ</mml:mi></mml:math> is a positive parameter. By using constraint variational methods, topological degree theory and quantitative deformation arguments, we prove that the above problem has one least energy sign-changing solution $$u_b$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi>b</mml:mi></mml:msub></mml:math> . Moreover, for any $$\lambda &gt; 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> , we show that the energy of $$u_b$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi>b</mml:mi></mml:msub></mml:math> is strictly larger than two times the ground state energy. Finally, we consider b as a parameter and study the convergence property of the least energy sign-changing solution as $$b \rightarrow 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> .

Topics & Concepts