On existence and uniqueness of weak solutions to nonlocal conservation laws with BV kernels
Giuseppe Maria Coclite, Nicola De Nitti, Alexander Keimer, Lukas Pflug
Abstract
Abstract In this note, we extend the known results on the existence and uniqueness of weak solutions to conservation laws with nonlocal flux. In case the nonlocal term is given by a convolution $$\gamma *q$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mrow/><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow></mml:math> , we weaken the standard assumption on the kernel $$\gamma \in L^\infty \big ((0,T); W^{1,\infty }({\mathbb {R}})\big )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>∞</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>;</mml:mo><mml:msup><mml:mi>W</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> to the substantially more general condition $$\gamma \in L^\infty ((0,T); BV({\mathbb {R}}))$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>∞</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>V</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> , which allows for discontinuities in the kernel.