Inequivalent quantizations from gradings and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> parabosons

Abstract

Abstract This paper introduces the parastatistics induced by <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>‐</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">g</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">a</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> </mml:math> algebras . It accommodates four kinds of particles: ordinary bosons and three types of parabosons which mutually anticommute when belonging to different type (so far, in the literature, only parastatistics induced by <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>‐</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">g</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">a</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> </mml:math> superalgebras and producing parafermions have been considered). It is shown how to detect <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>‐</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">g</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">a</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> </mml:math> parabosons in the multi-particle sector of a quantum model. The difference with respect to a system composed by ordinary bosons is spotted by measuring some selected observables on certain given eigenstates. The construction of the multi-particle states is made through the appropriate braided tensor product. The application of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> - and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> -gradings produces 9 inequivalent multi-particle Hilbert spaces of a 4 × 4 matrix oscillator. The <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>‐</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">g</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">a</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> </mml:math> parabosonic Hilbert space is one of them.

Topics & Concepts