On the advection-diffusion equation with rough coefficients: Weak solutions and vanishing viscosity

Abstract

We deal with the vanishing viscosity scheme for the transport/continuity equation ∂tu+div(ub)=0 drifted by a divergence-free vector field b. Under general Sobolev assumptions on b, we show the convergence of such scheme to the unique Lagrangian solution of the transport equation. Our proof is based on the use of stochastic flows and yields quantitative rates of convergence. This offers a completely general selection criterion for the transport equation (even beyond the distributional regime) which compensates the wild non-uniqueness phenomenon for solutions with low integrability arising from convex integration constructions, as shown in recent works [8], [28], [29], [30], and rules out the possibility of anomalous dissipation. On étudie le schéma de viscosité évanescente pour l'équation de transport/continuité ∂tu+div(ub)=0 associée à un champ de vecteurs b qui a divergence nulle. Selon des hypothèses générales du type Sobolev sur b, nous montrons la convergence d'un tel schéma vers l'unique solution lagrangienne de l'équation de transport. La preuve que nous présentons est basée sur l'utilisation de flux stochastiques et donne des estimations quantitatives de la vitesse de convergence. Ceci mène à l'émergence d'un critère de sélection général pour l'équation de transport (même au-delà du régime distributionnel) qui compense le phénomène de non-unicité sauvage pour solutions à faible intégrabilité, qui ont été construites dans des travaux récents [8], [28], [29], [30] avec des techniques d'intégration convexe. Cela exclut aussi la possibilité de dissipation anormale.

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