On critical double phase Kirchhoff problems with singular nonlinearity

Abstract

Abstract The paper deals with the following double phase problem $$\begin{aligned} \begin{aligned}&amp;-m \left[ \int _\Omega \left( \frac{|\nabla u|^p}{p} + a(x) \frac{|\nabla u|^q}{q}\right) \,\mathrm {d}x\right] {\text{div}} \left( |\nabla u|^{p-2}\nabla u + a(x) |\nabla u|^{q-2}\nabla u \right) \\&amp;\quad = \lambda u^{-\gamma } +u^{p^*-1}&amp;\quad \text {in } \Omega ,\\&amp;u &gt; 0&amp;\quad \text {in } \Omega ,\\&amp;u = 0&amp;\quad \text {on } \partial \Omega , \end{aligned} \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd/> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mfenced> <mml:mspace/> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mtext>div</mml:mtext> <mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow/> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow/> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow/> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>on</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mm

Topics & Concepts