Second-Order Differential Equation with Multiple Delays: Oscillation Theorems and Applications

Abstract

Differential equations of second order appear in physical applications such as fluid dynamics, electromagnetism, acoustic vibrations, and quantum mechanics. In this paper, necessary and sufficient conditions are established of the solutions to second-order half-linear delay differential equations of the form <a:math xmlns:a="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><a:msup><a:mrow><a:mfenced open="(" close=")" separators="|"><a:mrow><a:mi>ς</a:mi><a:mfenced open="(" close=")" separators="|"><a:mrow><a:mi>y</a:mi></a:mrow></a:mfenced><a:msup><a:mrow><a:mfenced open="(" close=")" separators="|"><a:mrow><a:msup><a:mrow><a:mi>u</a:mi></a:mrow><a:mrow><a:mo>′</a:mo></a:mrow></a:msup><a:mfenced open="(" close=")" separators="|"><a:mrow><a:mi>y</a:mi></a:mrow></a:mfenced></a:mrow></a:mfenced></a:mrow><a:mrow><a:mi>a</a:mi></a:mrow></a:msup></a:mrow></a:mfenced></a:mrow><a:mrow><a:mo>′</a:mo></a:mrow></a:msup><a:mo>+</a:mo><a:mstyle displaystyle="true"><a:msubsup><a:mo stretchy="false">∑</a:mo><a:mrow><a:mi>j</a:mi><a:mo>=</a:mo><a:mn>1</a:mn></a:mrow><a:mi>m</a:mi></a:msubsup><a:mrow><a:msub><a:mrow><a:mi>p</a:mi></a:mrow><a:mrow><a:mi>j</a:mi></a:mrow></a:msub><a:mfenced open="(" close=")" separators="|"><a:mrow><a:mi>y</a:mi></a:mrow></a:mfenced><a:msup><a:mrow><a:mi>u</a:mi></a:mrow><a:mrow><a:msub><a:mrow><a:mi>c</a:mi></a:mrow><a:mrow><a:mi>j</a:mi></a:mrow></a:msub></a:mrow></a:msup><a:mfenced open="(" close=")" separators="|"><a:mrow><a:msub><a:mrow><a:mi>ϑ</a:mi></a:mrow><a:mrow><a:mi>j</a:mi></a:mrow></a:msub><a:mfenced open="(" close=")" separators="|"><a:mrow><a:mi>y</a:mi></a:mrow></a:mfenced></a:mrow></a:mfenced></a:mrow></a:mstyle><a:mo>=</a:mo><a:mn>0</a:mn><a:mtext> for </a:mtext><a:mi>y</a:mi><a:mo>≥</a:mo><a:msub><a:mrow><a:mi>y</a:mi></a:mrow><a:mrow><a:mn>0</a:mn></a:mrow></a:msub></a:math> , under the assumption <z:math xmlns:z="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><z:msup><z:mrow><z:mstyle displaystyle="true"><z:mo stretchy="false">∫</z:mo></z:mstyle></z:mrow><z:mrow><z:mi>∞</z:mi></z:mrow></z:msup><z:msup><z:mrow><z:mfenced open="(" close=")" separators="|"><z:mrow><z:mi>ς</z:mi><z:mfenced open="(" close=")" separators="|"><z:mrow><z:mi>η</z:mi></z:mrow></z:mfenced></z:mrow></z:mfenced></z:mrow><z:mrow><z:mrow><z:mrow><z:mo>−</z:mo><z:mn>1</z:mn></z:mrow><z:mo>/</z:mo><z:mi>a</z:mi></z:mrow></z:mrow></z:msup><z:mtext>d</z:mtext><z:mi>η</z:mi><z:mo>=</z:mo><z:mi>∞</z:mi></z:math> . We consider two cases when <jb:math xmlns:jb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><jb:mi>a</jb:mi><jb:mo>&lt;</jb:mo><jb:msub><jb:mrow><jb:mi>c</jb:mi></jb:mrow><jb:mrow><jb:mi>j</jb:mi></jb:mrow></jb:msub></jb:math> and <lb:math xmlns:lb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><lb:mi>a</lb:mi><lb:mo>&gt;</lb:mo><lb:msub><lb:mrow><lb:mi>c</lb:mi></lb:mrow><lb:mrow><lb:mi>j</lb:mi></lb:mrow></lb:msub></lb:math> , where <nb:math xmlns:nb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><nb:mi>a</nb:mi></nb:math> and <pb:math xmlns:pb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><pb:msub><pb:mrow><pb:mi>c</pb:mi></pb:mrow><pb:mrow><pb:mi>j</pb:mi></pb:mrow></pb:msub></pb:math> are the quotient of two positive odd integers. Two examples are given to show effectiveness and applicability of the result.

Topics & Concepts