Mathematical Modeling and Analysis of an Alcohol Drinking Model with the Influence of Alcohol Treatment Centers

Abstract

In this paper, we present a continuous mathematical model <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>H</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:math> of alcohol drinking with the influence of private and public addiction treatment centers. We study the dynamical behavior of this model and we discuss the basic properties of the system and determine its basic reproduction number <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>. We also study the sensitivity analysis of model parameters to know the parameters that have a high impact on the reproduction number <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>. The stability analysis of the model shows that the system is locally as well as globally asymptotically stable at drinking-free equilibrium <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math> when <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math>. When <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math>, drinking present equilibrium <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math> exists and the system is locally as well as globally asymptotically stable at alcohol present equilibrium <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math>.

Topics & Concepts