Singular elliptic problems with unbalanced growth and critical exponent

Abstract

Abstract In this article, we study the existence and multiplicity of solutions of the following ( p , q )-Laplace equation with singular nonlinearity: <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mfenced close="" open="{"> <mml:mrow> <mml:mtable class="aligned" columnspacing="1"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mtext>on</mml:mtext> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> where Ω is a bounded domain in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> with smooth boundary, 1 &lt; q &lt; p &lt; r ⩽ p *, where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>*</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:math> , 0 &lt; δ &lt; 1, n &gt; p and λ , β &gt; 0 are parameters. We prove existence, multiplicity and regularity of weak solutions of ( P λ ) for suitable range of λ . We also prove the global existence result for problem ( P λ ).

Topics & Concepts