Chemotaxis-Stokes interaction with very weak diffusion enhancement: Blow-up exclusion via detection of absorption-induced entropy structures involving multiplicative couplings
Michael Winkler
Abstract
Abstract The chemotaxis–Stokes system <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><m:mfenced open="{" close=""><m:mrow><m:mtable displaystyle="true"><m:mtr><m:mtd columnalign="left"><m:msub><m:mrow><m:mi>n</m:mi></m:mrow><m:mrow><m:mi>t</m:mi></m:mrow></m:msub><m:mo>+</m:mo><m:mi>u</m:mi><m:mo>⋅</m:mo><m:mrow><m:mo>∇</m:mo></m:mrow><m:mi>n</m:mi><m:mo>=</m:mo><m:mrow><m:mo>∇</m:mo></m:mrow><m:mo>⋅</m:mo><m:mrow><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mrow/></m:mrow><m:mi>D</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mi>n</m:mi></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mrow><m:mo>∇</m:mo></m:mrow><m:mi>n</m:mi><m:mrow><m:mo stretchy="false">)</m:mo><m:mrow/></m:mrow><m:mo>−</m:mo><m:mrow><m:mo>∇</m:mo></m:mrow><m:mo>⋅</m:mo><m:mrow><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mrow/></m:mrow><m:mi>n</m:mi><m:mi>S</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo>,</m:mo><m:mi>n</m:mi><m:mo>,</m:mo><m:mi>c</m:mi></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>⋅</m:mo><m:mrow><m:mo>∇</m:mo></m:mrow><m:mi>c</m:mi><m:mrow><m:mo stretchy="false">)</m:mo><m:mrow/></m:mrow><m:mo>,</m:mo></m:mtd></m:mtr><m:mtr><m:mtd columnalign="left"><m:msub><m:mrow><m:mi>c</m:mi></m:mrow><m:mrow><m:mi>t</m:mi></m:mrow></m:msub><m:mo>+</m:mo><m:mi>u</m:mi><m:mo>⋅</m:mo><m:mrow><m:mo>∇</m:mo></m:mrow><m:mi>c</m:mi><m:mo>=</m:mo><m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi><m:mi>c</m:mi><m:mo>−</m:mo><m:mi>n</m:mi><m:mi>c</m:mi><m:mo>,</m:mo></m:mtd></m:mtr><m:mtr><m:mtd columnalign="left"><m:msub><m:mrow><m:mi>u</m:mi></m:mrow><m:mrow><m:mi>t</m:mi></m:mrow></m:msub><m:mo>=</m:mo><m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi><m:mi>u</m:mi><m:mo>+</m:mo><m:mrow><m:mo>∇</m:mo></m:mrow><m:mi>P</m:mi><m:mo>+</m:mo><m:mi>n</m:mi><m:mrow><m:mo>∇</m:mo></m:mrow><m:mi mathvariant="normal">Φ</m:mi><m:mo>,</m:mo><m:mspace width="1.0em"/><m:mrow><m:mo>∇</m:mo></m:mrow><m:mo>⋅</m:mo><m:mi>u</m:mi><m:mo>=</m:mo><m:mn>0</m:mn><m:mo>,</m:mo></m:mtd></m:mtr></m:mtable></m:mrow></m:mfenced></m:math> \left\{\begin{array}{l}{n}_{t}+u\cdot \nabla n=\nabla \cdot (D\left(n)\nabla n)-\nabla \cdot (nS\left(x,n,c)\cdot \nabla c),\\ {c}_{t}+u\cdot \nabla c=\Delta c-nc,\\ {u}_{t}=\Delta u+\nabla P+n\nabla \Phi ,\hspace{1.0em}\nabla \cdot u=0,\end{array}\right. is considered in a smoothly bounded convex domain <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi><m:mo>⊂</m:mo><m:msup><m:mrow><m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi></m:mrow><m:mrow><m:mn>3</m:mn></m:mrow></m:msup></m:math> \Omega \subset {{\mathbb{R}}}^{3} , with given suitably regular functions <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mi>D</m:mi><m:mo>:</m:mo><m:mrow><m:mo stretchy="false">[</m:mo><m:mrow><m:mn>0</m:mn><m:mo>,</m:mo><m:mi>∞</m:mi></m:mrow><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow><m:mo>→</m:mo><m:mrow><m:mo stretchy="false">[</m:mo><m:mrow><m:mn>0</m:mn><m:mo>,</m:mo><m:mi>∞</m:mi></m:mrow><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow></m:math> D:{[}0,\infty )\to {[}0,\infty ) , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mi>S</m:mi><m:mo>:</m:mo><m:mover accent="true"><m:mrow><m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi></m:mrow><m:mrow><m:mo stretchy="true">¯</m:mo></m:mrow></m:mover><m:mo>×</m:mo><m:mrow><m:mo stretchy="false">[</m:mo><m:mrow><m:mn>0</m:mn><m:mo>,</m:mo><m:mi>∞</m:mi></m:mrow><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow><m:mo>×</m:mo><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mn>0</m:mn><m:mo>,</m:mo><m:mi>∞</m:mi></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>→</m:mo><m:msup><m:mrow><m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi></m:mrow><m:mrow><m:mn>3</m:mn><m:mo>×</m:mo><m:mn>3</m:mn></m:mrow></m:msup></m:math> S:\overline{\Omega }\times {[}0,\infty )\times \left(0,\infty )\to {{\mathbb{R}}}^{3\times 3} and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mi mathvariant="normal">Φ</m:mi><m:mo>:</m:mo><m:mover accent="true"><m:mrow><m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi></m:mrow><m:mrow><m:mo stretchy="true">¯</m:mo></m:mrow></m:mover><m:mo>→</m:mo><m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi></m:math> \Phi :\overline{\Omega }\to {\mathbb{R}} such that <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mi>D</m:mi><m:mo>></m:mo><m:mn>0</m:mn></m:math> D\gt 0 on <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mn>0</m:mn><m:mo>,</m:mo><m:mi>∞</m:mi></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:math> \left(0,\infty ) . It is shown that if with some nondecreasing <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:msub><m:mrow><m:mi>S</m:mi></m:mrow><m:mrow><m:mn>0</m:mn></m:mrow></m:msub><m:mo>:</m:mo><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mn>0</m:mn><m:mo>,</m:mo><m:mi>∞</m:mi></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>→</m:mo><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mn>0</m:mn><m:mo>,</m:mo><m:mi>∞</m:mi></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:math> {S}_{0}:\left(0,\infty )\to \left(0,\infty ) we have <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><m:mo>∣</m:mo><m:mi>S</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo>,</m:mo><m:mi>n</m:mi><m:mo>,</m:mo><m:mi>c</m:mi></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>∣</m:mo><m:mo>≤</m:mo><m:mfrac><m:mrow><m:msub><m:mrow><m:mi>S</m:mi></m:mrow><m:mrow><m:mn>0</m:mn></m:mrow></m:msub><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mi>c</m:mi></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mrow><m:msup><m:mrow><m:mi>c</m:mi></m:mrow><m:mrow><m:mstyle displaystyle="false"><m:mfrac><m:mrow><m:mn>1</m:mn></m:mrow><m:mrow><m:mn>2</m:mn></m:mrow></m:mfrac></m:mstyle></m:mrow></m:msup></m:mrow></m:mfrac><m:mspace width="1.0em"/><m:mspace width="0.1em"/><m:mtext>for all</m:mtext><m:mspace width="0.1em"/><m:mspace width="0.33em"/><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo>,</m:mo><m:mi>n</m:mi><m:mo>,</m:mo><m:mi>c</m:mi></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>∈</m:mo><m:mover accent="true"><m:mrow><m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi></m:mrow><m:mrow><m:mo stretchy="true">¯</m:mo></m:mrow></m:mover><m:mo>×</m:mo><m:mrow><m:mo stretchy="false">[</m:mo><m:mrow><m:mn>0</m:mn><m:mo>,</m:mo><m:mi>∞</m:mi></m:mrow><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow><m:mo>×</m:mo><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mn>0</m:mn><m:mo>,</m:mo><m:mi>∞</m:mi></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>,</m:mo></m:math> | S\left(x,n,c)| \le \frac{{S}_{0}\left(c)}{{c}^{\tfrac{1}{2}}}\hspace{1.0em}\hspace{0.1em}\text{for all}\hspace{0.1em}\hspace{0.33em}\left(x,n,c)\in \overline{\Omega }\times {[}0,\infty )\times \left(0,\infty ), then for all <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mi>M</m:mi><m:mo>></m:mo><m:mn>0</m:mn></m:math> M\gt 0 there exists <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mi>L</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mi>M</m:mi></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>></m:mo><m:mn>0</m:mn></m:math> L\left(M)\gt 0 such that whenever <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><m:munder><m:mrow><m:mi>liminf</m:mi></m:mrow><m:mrow><m:mi>n</m:mi><m:mo>→</m:mo><m:mi>∞</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mi>D</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mi>n</m:mi></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>></m:mo><m:mi>L</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mi>M</m:mi></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mspace width="1.0em"/><m:mspace width="0.1em"/><m:mtext>and</m:mtext><m:mspace width="0.1em"/><m:mspace width="1.0em"/><m:munder><m:mrow><m:mi>liminf</m: