Spectrality of a class of self-affine measures on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> *

Abstract

Abstract In this work, we study the spectral property of a class of self-affine measures μ M , D on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> generated by an expanding real matrix <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>diag</mml:mi> <mml:mfenced close=")" open="("> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>ρ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>ρ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> and a non-collinear integer digit set <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>∉</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:math> , i = 1, 2. We give the sufficient and necessary conditions so that μ M , D becomes a spectral measure, i.e., there exists a countable subset <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi mathvariant="normal">Λ</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math>

Topics & Concepts