Asymptotic behavior of cutoff effects in Yang–Mills theory and in Wilson’s lattice QCD

Abstract

Abstract Discretization effects of lattice QCD are described by Symanzik’s effective theory when the lattice spacing, a , is small. Asymptotic freedom predicts that the leading asymptotic behavior is $$\sim a^{n_{\mathrm{min}}}[{\bar{g}}^2(a^{-1})]^{\hat{\gamma }_1} \sim a^{n_{\mathrm{min}}}\left[ \frac{1}{-\log (a\Lambda )}\right] ^{\hat{\gamma }_1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>∼</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>min</mml:mi></mml:msub></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mover><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>^</mml:mo></mml:mover><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msup><mml:mo>∼</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>min</mml:mi></mml:msub></mml:msup><mml:msup><mml:mfenced><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo>log</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:msub><mml:mover><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>^</mml:mo></mml:mover><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msup></mml:mrow></mml:math> . For spectral quantities, $${n_{\mathrm{min}}}=d$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>min</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:math> is given in terms of the (lowest) canonical dimension, $$d+4$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math> , of the operators in the local effective Lagrangian and $$\hat{\gamma }_1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mover><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>^</mml:mo></mml:mover><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:math> is proportional to the leading eigenvalue of their one-loop anomalous dimension matrix $$\gamma ^{(0)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math> . We determine $$\gamma ^{(0)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math> for Yang–Mills theory ( $${n_{\mathrm{min}}}=2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>min</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math> ) and discuss consequences in general and for perturbatively improved short distance observables. With the help of results from the literature, we also discuss the $${n_{\mathrm{min}}}=1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>min</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math> case of Wilson fermions with perturbative $$\mathrm{O}(a)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>O</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> improvement and the discretization effects specific to the flavor currents. In all cases known so far, the discretization effects are found to vanish faster than the naive $$\sim a^{n_{\mathrm{min}}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>∼</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>min</mml:mi></mml:msub></mml:msup></mml:mrow></mml:math> behavior with rather small logarithmic corrections – in contrast to the two-dimensional O(3) sigma model.

Topics & Concepts