Multiple solutions for critical Choquard-Kirchhoff type equations

Abstract

Abstract In this article, we investigate multiplicity results for Choquard-Kirchhoff type equations, with Hardy-Littlewood-Sobolev critical exponents, <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <m:mtr> <m:mtd> <m:mstyle displaystyle="true"> <m:mo>−</m:mo> <m:mfenced open="(" close=")"> <m:mrow> <m:mi>a</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>b</m:mi> <m:munder> <m:mo>∫</m:mo> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:msup> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> </m:mrow> <m:mi>N</m:mi> </m:msup> </m:mrow> </m:munder> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">∇</m:mi> <m:mi>u</m:mi> <m:msup> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:msup> <m:mi>d</m:mi> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> </m:mfenced> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">Δ</m:mi> </m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mi>α</m:mi> <m:mi>k</m:mi> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:msup> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi>q</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>β</m:mi> <m:mfenced open="(" close=")"> <m:mrow> <m:mspace width="thinmathspace"/> <m:mspace width="thinmathspace"/> <m:mstyle> <m:munder> <m:mo>∫</m:mo> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:msup> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> </m:mrow> <m:mi>N</m:mi> </m:msup> </m:mrow> </m:munder> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>y</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> <m:msup> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:msubsup> <m:mn>2</m:mn> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi>μ</m:mi> </m:mrow> <m:mo>∗</m:mo> </m:msubsup> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> <m:mrow> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>y</m:mi> <m:msup> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi>μ</m:mi> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> </m:mfrac> <m:mi>d</m:mi> <m:mi>y</m:mi> </m:mstyle> </m:mrow> </m:mfenced> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:msup> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:msubsup> <m:mn>2</m:mn> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi>μ</m:mi> </m:mrow> <m:mo>∗</m:mo> </m:msubsup> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace width="1em"/> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:msup> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> </m:mrow> <m:mi>N</m:mi> </m:msup> <m:mo>,</m:mo> </m:mstyle> </m:mtd> </m:mtr> </m:mtable> </m:math> $$\begin{array}{} \displaystyle -\left(a

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