Radiative decays of charged leptons as constraints of unitarity polygons for active-sterile neutrino mixing and CP violation
Zhi‐zhong Xing, Di Zhang
Abstract
Abstract We calculate the rates of radiative $$\beta ^- \rightarrow \alpha ^- + \gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> decays for $$(\alpha , \beta ) = (e, \mu )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , $$(e, \tau )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and $$(\mu , \tau )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> by taking the unitary gauge in the $$(3+n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> active-sterile neutrino mixing scheme, and make it clear that constraints on the unitarity of the $$3\times 3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> Pontecorvo–Maki–Nakagawa–Sakata (PMNS) matrix U extracted from $$\beta ^- \rightarrow \alpha ^- + \gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> decays in the minimal unitarity violation scheme differ from those obtained in the canonical seesaw mechanism with n heavy Majorana neutrinos by a factor 5/3. In such a natural seesaw case we show that the rates of $$\beta ^- \rightarrow \alpha ^- + \gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> can be used to cleanly and strongly constrain the effective apex of a unitarity polygon, and compare its geometry with the geometry of its three sub-triangles formed by two vectors $$U^{}_{\alpha i} U^*_{\beta i}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow/> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> and $$U^{}_{\alpha j} U^*_{\beta j}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow/> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> (for $$i \ne j$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> ) in the complex plane. We find that the areas of such sub-triangles can be described in terms of the Jarlskog-like invariants of CP violation $${{\mathcal {J}}}^{ij}_{\alpha \beta }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>J</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>ij</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> , and their small differences signify slight unitarity violation of the PMNS matrix U .