A Common q-Analogue of Two Supercongruences
Victor J. W. Guo, Wadim Zudilin
Abstract
Abstract We give a q -congruence whose specializations $$q=-1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math> and $$q=1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math> correspond to supercongruences (B.2) and (H.2) on Van Hamme’s list (in: p -Adic Functional Analysis (Nijmegen, 1996), Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, vol 192. Dekker, New York, pp 223–236, 1997): $$\begin{aligned}&\sum _{k=0}^{(p-1)/2}(-1)^k(4k+1)A_k\equiv p(-1)^{(p-1)/2}\;({\text {mod}}p^3) \quad \text {and}\quad \\&\sum _{k=0}^{(p-1)/2}A_k\equiv a(p)\;({\text {mod}}p^2), \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd><mml:mrow><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace/><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mtext>mod</mml:mtext><mml:msup><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace/><mml:mtext>and</mml:mtext><mml:mspace/></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace/><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mtext>mod</mml:mtext><mml:msup><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> where $$p>2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math> is prime, $$\begin{aligned} A_k=\prod _{j=0}^{k-1}\biggl (\frac{1/2+j}{1+j}\biggr )^3=\frac{1}{2^{6k}}{\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) }^3 \quad \text {for}\; k=0,1,2,\ldots , \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∏</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mspace/><mml:mtext>for</mml:mtext><mml:mspace/><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> and a ( p ) is the p th coefficient of the modular form $$q\prod _{j=1}^\infty (1-q^{4j})^6$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:msubsup><mml:mo>∏</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:msubsup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>q</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:math> (of weight 3). We complement our result with a general common q -congruence for related hypergeometric sums.