The Faber–Krahn inequality for the short-time Fourier transform
Fabio Nicola, Paolo Tilli
Abstract
Abstract In this paper we solve an open problem concerning the characterization of those measurable sets $$\Omega \subset {\mathbb {R}}^{2d}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> that, among all sets having a prescribed Lebesgue measure, can trap the largest possible energy fraction in time-frequency space, where the energy density of a generic function $$f\in L^2({\mathbb {R}}^d)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is defined in terms of its Short-time Fourier transform (STFT) $${\mathcal {V}}f(x,\omega )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , with Gaussian window. More precisely, given a measurable set $$\Omega \subset {\mathbb {R}}^{2d}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> having measure $$s> 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , we prove that the quantity $$\begin{aligned} \Phi _\Omega =\max \Big \{\int _\Omega |{\mathcal {V}}f(x,\omega )|^2\,dxd\omega : f\in L^2({\mathbb {R}}^d),\ \Vert f\Vert _{L^2}=1\Big \}, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Φ</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>max</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mspace/> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> is largest possible if and only if $$\Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> is equivalent, up to a negligible set, to a ball of measure s , and in this case we characterize all functions f that achieve equality. This result leads to a sharp uncertainty principle for the “essential support” of the STFT (when $$d=1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , this can be summarized by the optimal bound $$\Phi _\Omega \le 1-e^{-|\Omega |}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Φ</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , with equality if and only if $$\Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> is a ball). Our approach, using techniques from measure theory after suitably rephrasing the problem in the Fock space, also leads to a local version of Lieb’s uncertainty inequality for the STFT in <jats:inline-