Tightness of Liouville first passage percolation for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math>
Jian Ding, Julien Dubédat, Alexander Dunlap, Hugo Falconet
Abstract
We study Liouville first passage percolation metrics associated to a Gaussian free field <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:math> mollified by the two-dimensional heat kernel <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> in the bulk, and related star-scale invariant metrics. For <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is the Liouville quantum gravity dimension defined in Ding and Gwynne (Commun. Math. Phys. 374:1877–1934, 2020), we show that renormalized metrics <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>*</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> are tight with respect to the uniform topology. We also show that subsequential limits are bi-Hölder with respect to the Euclidean metric, obtain tail estimates for side-to-side distances, and derive error bounds for the normalizing constants <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> .