Nonlocal Conformable-Fractional Differential Equations with a Measure of Noncompactness in Banach Spaces
Mohamed Bouaouid, Mohamed Hannabou, Khalid Hilal
Abstract
This paper deals with the existence of mild solutions for the following Cauchy problem: <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math>, where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> is the so-called conformable fractional derivative. The linear part A is the infinitesimal generator of a uniformly continuous semigroup <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math> on a Banach space X , f and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> are given functions. The main result is proved by using the Darbo–Sadovskii fixed point theorem without assuming the compactness of the family <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math> and the Lipshitz condition on the nonlocal part <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.