Non-existence and Strong lll-posedness in $$C^{k,\beta }$$ for the Generalized Surface Quasi-geostrophic Equation
Diego Córdoba, Luis Martínez-Zoroa
Abstract
Abstract We consider solutions to the generalized Surface Quasi-geostrophic equation ( $$\gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:math> -SQG) when the velocity is more singular than the active scalar function (i.e. $$\gamma \in (0,1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> ). In this paper we establish strong ill-posedness in $$C^{k,\beta }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> ( $$k\ge 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , $$\beta \in (0,1]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and $$k+\beta >1+\gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> ) and we also construct solutions in $$\mathbb {R}^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> that initially are in $$C^{k,\beta }\cap L^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> but are not in $$C^{k,\beta }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> for $$t>0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . Furthermore these solutions stay in $$H^{k+\beta +1-2\delta }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>δ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> for some small $$\delta $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>δ</mml:mi> </mml:math> and an arbitrarily long time.