Fractional inclusions of the Hermite–Hadamard type for m-polynomial convex interval-valued functions

Abstract

Abstract The notion of m -polynomial convex interval-valued function $\Psi =[\psi ^{-}, \psi ^{+}]$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:math> is hereby proposed. We point out a relationship that exists between Ψ and its component real-valued functions $\psi ^{-}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> and $\psi ^{+}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> . For this class of functions, we establish loads of new set inclusions of the Hermite–Hadamard type involving the ρ -Riemann–Liouville fractional integral operators. In particular, we prove, among other things, that if a set-valued function Ψ defined on a convex set S is m -polynomial convex, $\rho,\epsilon &gt;0$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math> and $\zeta,\eta \in {\mathbf{S}}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ζ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:math> , then $$\begin{aligned} \frac{m}{m+2^{-m}-1}\Psi \biggl(\frac{\zeta +\eta }{2} \biggr)&amp; \supseteq \frac{\Gamma _{\rho }(\epsilon +\rho )}{(\eta -\zeta )^{\frac{\epsilon }{\rho }}} \bigl[{_{\rho }{\mathcal{J}}}_{\zeta ^{+}}^{\epsilon } \Psi (\eta )+_{ \rho }{\mathcal{J}}_{\eta ^{-}}^{\epsilon }\Psi (\zeta ) \bigr] \\ &amp; \supseteq \frac{\Psi (\zeta )+\Psi (\eta )}{m}\sum_{p=1}^{m}S_{p}( \epsilon;\rho ), \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>ζ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo>⊇</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mi>ρ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>ζ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mi>ρ</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:msup> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>ρ</mml:mi> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>ζ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:mi>ϵ</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ρ</mml:mi> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> </mml:msup> <mml:mi>ϵ</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ζ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd/> <mml:mtd> <mml:mo>⊇</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ζ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> where Ψ is Lebesgue integrable on $[\zeta,\eta ]$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>ζ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:math> , $S_{p}(\epsilon;\rho )=2-\frac{\epsilon }{\epsilon +\rho p}- \frac{\epsilon }{\rho }\mathcal{B} (\frac{\epsilon }{\rho }, p+1 )$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>(</mml:mo>

Topics & Concepts