A New Conformable Fractional Derivative and Applications
Ahmed Kajounı, Ahmed Kajouni, Khalid Hilal, Mohamed Oukessou
Abstract
This paper is motivated by some papers treating the fractional derivatives. We introduce a new definition of fractional derivative which obeys classical properties including linearity, product rule, quotient rule, power rule, chain rule, Rolle’s theorem, and the mean value theorem. The definition <a:math xmlns:a="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"> <a:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <a:mrow> <a:msup> <a:mrow> <a:mi>D</a:mi> </a:mrow> <a:mrow> <a:mi>α</a:mi> </a:mrow> </a:msup> <a:mi>f</a:mi> </a:mrow> </a:mfenced> <a:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <a:mrow> <a:mi>t</a:mi> </a:mrow> </a:mfenced> <a:mo>=</a:mo> <a:munder> <a:mrow> <a:mtext>lim</a:mtext> </a:mrow> <a:mrow> <a:mi>h</a:mi> <a:mo>⟶</a:mo> <a:mn>0</a:mn> </a:mrow> </a:munder> <a:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <a:mrow> <a:mrow> <a:mrow> <a:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <a:mrow> <a:mi>f</a:mi> <a:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <a:mrow> <a:mi>t</a:mi> <a:mo>+</a:mo> <a:mi>h</a:mi> <a:msup> <a:mrow> <a:mi>e</a:mi> </a:mrow> <a:mrow> <a:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <a:mrow> <a:mi>α</a:mi> <a:mo>−</a:mo> <a:mn>1</a:mn> </a:mrow> </a:mfenced> <a:mi>t</a:mi> </a:mrow> </a:msup> </a:mrow> </a:mfenced> <a:mo>−</a:mo> <a:mi>f</a:mi> <a:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <a:mrow> <a:mi>t</a:mi> </a:mrow> </a:mfenced> </a:mrow> </a:mfenced> </a:mrow> <a:mo>/</a:mo> <a:mi>h</a:mi> </a:mrow> </a:mrow> </a:mfenced> <a:mo>,</a:mo> </a:math> for all <x:math xmlns:x="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> <x:mi>t</x:mi> <x:mo>></x:mo> <x:mn>0</x:mn> </x:math> , and <z:math xmlns:z="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <z:mi>α</z:mi> <z:mo>∈</z:mo> <z:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <z:mrow> <z:mn>0,1</z:mn> </z:mrow> </z:mfenced> </z:math> . If <eb:math xmlns:eb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <eb:mi>α</eb:mi> <eb:mo>=</eb:mo> <eb:mn>0</eb:mn> </eb:math> , this definition coincides to the classical definition of the first order of the function <gb:math xmlns:gb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <gb:mi>f</gb:mi> </gb:math> .