Normalized solutions to p-Laplacian equations with combined nonlinearities*
Zexin Zhang, Zhitao Zhang
Abstract
Abstract In this paper, we study the p-Laplacian equation with a L p -norm constraint: <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mfenced close="" open="{"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace width="0.3333em"/> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>∫</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> where N ⩾ 2, a > 0, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo>≔</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:m