A distributional approach to fractional Sobolev spaces and fractional variation: asymptotics II

Abstract

We continue the study of the space <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> of functions with bounded fractional variation in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> and of the distributional fractional Sobolev space <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , considered in the previous works [28, 27]. We first define the space <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and establish the identifications <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> are the (real) Hardy space and the Bessel potential space, respectively. We then prove that the fractional gradient <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> strongly converges to the Riesz transform as <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w

Topics & Concepts