Nonstandard competing anisotropic $(p,q)$-Laplacians with convolution
A. Razani
Abstract
Abstract A competing anisotropic $(p,q)$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> -Laplacian $$ -\overset{N}{\underset{i=1}{\sum}}\frac{\partial }{\partial x_{i}} \biggl( \biggl\vert \frac{\partial u}{\partial x_{i}} \biggr\vert ^{p_{i}-2}- \mu \biggl\vert \frac{\partial u}{\partial x_{i}} \biggr\vert ^{q_{i}-2} \biggr) \frac{\partial u}{\partial x_{i}} =f \bigl(x, \phi \star u,\nabla (\phi \star u)\bigr) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mover> <mml:munder> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mover> <mml:mfrac> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>⋆</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>⋆</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> as a nonstandard Dirichlet problem with convolutions on a bounded smooth domain in $\mathbb{R}^{N}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> , $N\geq 3$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:math> is considered. Assume $f:\Omega \times \mathbb{R}\times \mathbb{R}^{N}\to \mathbb{R}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:math> is a Carathéodory function and $\phi \in L^{1}(\mathbb{R}^{N})$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> . If $\mu >0$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math> , the existence of a generalized solution is proved. By the Galerkin basis for the space, a sequence that converges strongly to the solution is constructed. If $\mu \leq 0$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math> , it is proved that any generalized solution is a weak solution.